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在学校里，我们学到一个非常有趣的几何规则：三角形的三个内角加起来总是180度。但其实，这个规则并不总是成立的！尽管老师是这么教的，但是数学家们花了好几个世纪才弄明白其中的原因。正如我们在最近一场活动中发现的，几何学的发展历程表明，数学的进步曾深刻改变了人类对周围世界的认知方式。
麻烦的平行公设
几何学的正式起源通常被追溯到公元前300年左右生活在埃及的数学家欧几里得（Euclid）。他写了一本书叫《几何原本》，在书中列出了五条他认为整个几何学都应该建立在其上的基本规则（数学家称之为“公理”）。这些规则被认为是显而易见、不言自明的道理，大家无需进一步证明就应该接受它们为真。
三角形内角之和总是等于180度这个规则，其实是欧几里得第五条公理的一种表现形式。而欧几里得当时给出的原始表述要复杂得多：
如果一条线段与两条直线相交，并且在同一侧形成的两个内角之和小于两个直角（即180度），那么如果这两条直线无限延伸，它们最终将在这一侧相交——也就是角度和小于两个直角的那一侧。
这可以通过下面的图片来说明：图中，两条直线与第三条线相交，在同一侧形成了两个都小于90度的角。这意味着，根据欧几里得的平面几何，这两条直线如果继续延伸，就会在这一侧相交。
如果两条直线不是像欧几里得说的那样相交，而是永远不相交，那么它们就是平行的。欧几里得的第五条公理告诉我们：如果两条直线都与第三条直线成直角相交，那么它们就是平行的。这也是为什么它常被称为“平行公设”。经过一些推导，你会发现这个公设其实等价于“三角形的内角和为180度”这个规则——当然，前提是我们讨论的是平面几何，也就是在一个平坦的表面上。
尽管这个“平行公设”在几何学中非常实用，但它也长期让数学家们头疼不已。数学史学家杰里米·格雷（Jeremy Gray）在一次伦敦数学学会的活动上说：“它引发了很多问题。”这场活动是牛顿研究所主办的“现代数学史研究项目”的一部分。为什么说它麻烦呢？因为这个公设虽然指出两条不平行的直线最终会相交，但这个交点可能非常遥远——甚至远到光年之外！格雷打趣道：“如果一个交点可能在几十亿英里之外，那我们很难自信地说‘它们一定会相交’！”
与欧几里得其他四条公理相比，平行公设看起来并不像那么显而易见。其他四条公理内容简单明了，比如“任意两点之间可以画一条直线”，而第五条公设显得过于复杂。这让许多人相信，平行公设其实应该能从前四条公理中推导出来——也就是说，只要前四条公理成立，第五条公设也必然成立。“人们想把平行公设删掉，改成用另外四条公理证明它，”格雷说几个世纪以来，许多数学家都尝试这样做，但最终都失败了。
答案就在你的脚下
平行公设不能从欧几里得其他四条公理推导出来，是因为它并非在所有情况下都成立。有些情况下，前四条公理依然适用，但平行公设却不成立。
这是因为欧几里得描述几何规则时，是基于一个平坦的平面上的点和直线。而这和我们实际所处的环境截然不同——我们脚下的地面并不是完全平坦的，而是近似一个球面。我们生活在地球这个大致呈球形的表面上，而在这里，欧几里得几何就不适用了。前四条公理依然成立，但平行公设却不成立。
想象你站在赤道上，夹在两条经线之间。你看到的这三条线——赤道和两条经线——都是“大圆”的例子：它们绕着地球最粗的部分，直径最大——地球表面上没有比它们更大的圆了。大圆还代表着最短路径：地球上任意两点之间的最短路线东信证券，就是通过包含这两点的那个唯一大圆。大圆在球面几何中，就像直线在欧几里得几何中一样：它们都是最短路径（数学上称为“测地线”），因此应该遵循类似的规律。
但这里有个惊喜：如果你测量两条经线与赤道的夹角，会发现它们都是直角。可是，正如所有经线一样，它们最终在北极和南极相交——也就是说，它们并不是平行线。这其实是一个非常熟悉的例子，直接反驳了平行公设。
球面上的三角形是由大圆弧组成的。但它是向外凸起的，所以它的三个内角加起来超过180度。超过多少则取决于三角形的大小：小三角形的内角和只会稍微超过180度，因为在小范围内，球面看起来几乎是平的。但如果三角形变得越来越大——比如连接英国伦敦、德国明斯特和澳大利亚珀斯这三个城市的三角形——它的内角和就会明显增加。
球面几何和欧几里得几何的差异，在地图上表现得尤为明显——毕竟地图就是试图把地球这个球面画在一张平坦的纸上。任何平面的地球地图都会有不同程度的变形。最常用的墨卡托投影在赤道附近比较准确，但越靠近南北极，距离和面积的夸大就越严重。比如格陵兰岛在地图上看起来比非洲只小了一倍，但实际上它的面积大约比非洲小14倍。
世界地图。图源：pixabay
与黑暗的斗争
只要你习惯了这种思路，球面几何其实很自然：你可以想象它、画出它的图形，甚至在橘子皮上画图来帮助理解。但还有另一种几何——双曲几何，它要复杂得多，更加奇特。
格雷用这个故事来说明，从数学史中我们能学到很多东西，也能更好地理解今天所教和研究的数学。不仅让数学更有人情味，用来自世界各地的例子让数学变得更加通俗易懂，数学史还帮助我们了解当下数学和科学的背景与重点。格雷说：“数学史能把数学和物理，甚至文学等其他领域建立起真正有依据的联系。最近的数学史还能帮助我们思考今天数学的发展方向和重点。”
几何学的发展历史正是一个绝佳的例子，它展示了几个世纪以来，随着我们对数学认知的不断变化，科学的发展方向和我们对周围世界的理解也随之发生了深刻的变化。
格雷接着讲述了双曲几何的故事，介绍了19世纪匈牙利数学家鲍耶·亚诺什（Bolyai János）和俄罗斯数学家尼古拉斯·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevskii）。他们俩都加入了破解平行公设之谜的行列。这确实是一场艰苦的探索，格雷通过引用那个时代鲍耶、罗巴切夫斯基及其同时代人的充满激情和浪漫色彩的文字，生动展现了这段历史。
例如，鲍耶·亚诺什的父亲、也是一位数学家的鲍耶·法尔科斯（Bolyai Farkas），在写给儿子的信中谈到了平行公设：
“令人难以置信的是，这种顽固的黑暗、永恒的阴影、几何学中的缺陷，永远笼罩在纯洁真理上的乌云，竟然还被容忍着。”
罗巴切夫斯基在一篇论文中感叹几何学远远落后于数学的其他领域：
“在数学领域，没有什么像欧几里得开篇的那些论述那样充满黑暗，也没有哪部分像平行线理论那样严重缺乏严谨性。”
鲍耶和罗巴切夫斯基都试图弥补这一缺乏严谨性的不足。他们和许多前辈一样东信证券，想要从欧几里得的其他公理出发，证明平行公设是对的。为此，他们先假设平行公设是错误的， 然后希望发现由此产生的几何体系会出现矛盾或不可能的情况，从而证明这个假设是错的。这就是经典的“反证法”或“归谬法”。
但结果发现，这种几何并没有矛盾。鲍耶和罗巴切夫斯基各自独立地发现了一种新的几何体系，现在被称为双曲几何。欧几里得和平面几何以及球面几何中成立的前四条公理，在双曲几何中依然成立，但在这个奇异的新世界里，三角形的内角和却小于180度。
奇怪的新世界
那么，呈现这种奇异双曲几何的曲面是什么样子的呢？看起来很难想象。不过你可以试着想象一片羽衣甘蓝的叶子，叶缘越来越皱褶。叶子上的小虫子从点A爬到点B，就必须越过这些皱褶，它会选择一条最短的路径，也就是我们之前说过的“测地线”。
图源：wikipedia
现在想象把羽衣甘蓝叶子摊平，当然希望不要压到小虫子。摊平后，叶子上的最短路径不一定会变成直线，而可能变成各种曲线。这和地球上的最短路径——大圆——在平面地图上变成曲线的情况非常相似。
如果你把一个由相同三角形拼成、皱褶起伏的双曲面摊平成一个圆盘形状，就会得到下面那张图。双曲面上的直线（也就是测地线）在这个平坦的圆盘上变成了曲线。
我们还可以看到，来自双曲空间的这些相同的三角形在平坦的圆盘上被扭曲了，越靠近圆盘边缘，三角形看起来就越被挤压、变小。格雷说：“想想世界地图上的变形，这就是双曲铺砌。三角形实际上大小相同，但在这个平面圆盘中看起来越来越小。”
当我们把地球的球面几何摊平成平面地图时，材料“不够用”——我们不得不把球面上的某些区域拉伸开来。而对于双曲面，比如我们想象中的羽衣甘蓝叶子来说，情况正好相反！我们有“太多”的材料！所以当我们把双曲空间摊平时，有些区域会被扭曲、压缩，在平面地图上显得更小。
到目前为止，我们讨论的是双曲面——具有双曲几何性质的二维空间。但其实，三维甚至更高维的双曲几何也有类似的模型。难怪鲍耶在写给他父亲的信中感叹道：
“我发现了如此奇妙的事物，令我震惊……我从无中创造出了一个奇异的新世界。”
几十年后，人们逐渐明白，双曲几何不仅仅是一个奇思妙想——它正是爱因斯坦在1905年提出狭义相对论时所需要的数学工具。格雷解释说，我们对几何的不断深入理解，直接影响了我们对周围世界本质的认识。几个世纪以来，数学家们带领我们从直觉上的平面欧几里得几何，走向了我们生活的星球——球面几何；“再经过漫长曲折的历程，最终走到了爱因斯坦的广义相对论和现代宇宙学的开端。”
格雷和他的同事们关于数学史的研究，不仅揭示了数学学科的发展过程，也凸显了数学在人类文化中的核心地位。格雷说：“数学不仅仅是另一门学科。数学影响着人们如何思考他们所生活的物质世界，以及他们如何表达这些想法。”
作者：Rachel Thomas & Marianne Freiberger
翻译：yhc
审校：7号机
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